[확률과 통계적 추론] 7-4. Sample Size

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 표본의 크기를 결정하는 방법에 대해 정리하였습니다.

유의수준(Significant Level) $\alpha$, 최대 한계 오차 $\varepsilon$이 주어지면 표본의 최소 크기를 결정할 수 있습니다.

따로 공식으로 나타내지는 않았지만 유의수준, 한계 오차, 표본의 크기 중 2가지만 주어져도 나머지 하나를 결정할 수 있습니다.

 

1. 모평균 $\mu$가  $[\overline{X} \pm \varepsilon]$에 포함되기 위한 표본수 $n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2\sigma^2}{\varepsilon^2}$ 

• 천장함수(Ceiling function)을 이용해 ⌈$\frac{z_{\alpha/2}^2\sigma^2}{\varepsilon^2}$⌉와 같이 표시할 수 있습니다.
• CLT를 적용하였으므로 Underlying Dist가 Badly Skewed 하지 않을 때, 근사적으로 잘 따릅니다.

 

2. (Binomial) 모비율 $p$가  [$\hat{p} \pm \varepsilon$]에 포함되기 위한 표본 수 $n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2p^*(1-p^*)}{\varepsilon^2} \geq \frac{z_{\alpha/2}^2}{4\varepsilon^2}$

• Underling Dist로 이항분포를 가정하고 있으므로 특정 실험을 독립적으로 반복하거나 모집단에서 sampling with replacement 인 경우에 적용할 수 있습니다.

 

3. (Hypergometric) 모비율  $p$가  [$\hat{p} \pm \varepsilon$]에 포함되기 위한 표본 수 $n \geq \frac{Nz_{\alpha/2}^2p(1-p)}{(N-1)\varepsilon^2 + z_{\alpha/2}^2p(1-p)}$

• 모집단의 수 N이 큰 경우 식(3)의 형태가 식(2)의 형태와 유사함을 보일 수 있습니다. (N에 비해 $z_{\alpha/2}$와 $p$가 작기 때문)