0. 개요확률분포를 공부하다 보면 각 분포의 평균과 분산이 공식으로만 주어지는 경우가 많습니다.하지만 "왜 이런 형태가 나오는지"를 한 번쯤 직접 유도해 보는 것이 분포를 이해하는 데 훨씬 도움이 됩니다.초기하분포(Hypergeometric distribution)는 이항분포와 유한 모집단에서 샘플을 추출한다는 점에서 동일하지만,비복원추출이라는 차이로 인해 분산에서 약간의 차이가 발생합니다.그래서 이번 포스팅에서는 초기하분포의 정의를 간단히 정리한 뒤,평균과 분산을 직접 유도해보고 이항분포와의 차이를 함께 살펴보도록 하겠습니다.1. 초기하분포의 정의모집단의 크기가 $N$이고, 그중 관심있는 항목이 $N_1$개, 그 외 항목이 $N_2$개라고 하면,$$ N = N_1 + N_2 $$ 이 모집단에서 비복원으..

표본분산과 모분산은 통계학에서 자주 나오는 핵심 개념으로, 표본 데이터로부터 모수를 추정하는 데 사용됩니다.이번 포스팅에서는 표본분산이 모분산의 불편추정량임을 보이고, 표본분산과 표준편차가 모분산 및 모표준편차로 확률수렴함을 증명하도록 하겠습니다. 1. $E[S_n^2] = \sigma^2$표본분산에 정의에 따라 $S_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_i(X_i-\overline{X})^2 =\frac{1}{n-1}\sum_i(X_i-\mu+\mu-\overline{X})^2$이므로 표본평균의 기댓값은 아래와 같습니다. \begin{align*} E[S_n^2] &= \frac{1}{n-1}E[\sum_i(X_i-\mu+\mu-\overline{X})^2] \\ &=\frac{1}{n-1}E[\..

두 가지 방법으로 모비율의 신뢰구간을 구해봅시다이 글에서는 Chebyshev 부등식과 Hoeffding 부등식을 사용하여 모비율의 신뢰구간을 구하는 방법을 설명하고, 두 방법의 결과를 비교해보겠습니다.특히 이항분포의 경우를 중심으로 구체적인 예시와 시뮬레이션 결과를 통해 차이를 확인해 보겠습니다. 1. Chebyshev 부등식 $\varepsilon > 0$이고 확률변수 X의 평균과 분산이 존재할 때, 다음을 만족한다.$P\big(|X-E[X]| \geq\varepsilon\big) \leq \frac{var(X)}{t^2}$$X_1, X_2, \ldots, X_n \sim Bernoulli(p)$일때, 표본평균 $\overline{X}=\frac{\sum_i X_i}{n}$은 모비율 $p$의 최대 우도..

지난 포스팅 "주축량과 지수분포에서 모수의 신뢰구간-이론"(https://moogie.tistory.com/150)에서$X_1, X_2, \ldots, X_n \sim Exp(\theta)$인 경우 MLE와 주축량을 이용해 구한 $\theta$의 신뢰구간은 다음과 같았습니다. 1. MLE를 이용한 경우$$[\hat{\theta}-z_{\alpha/2}\frac{\hat{\theta}}{\sqrt{n}}, \hat{\theta}+z_{\alpha/2}\frac{\hat{\theta}}{\sqrt{n}}]$$2. Pivotal Quantity를 이용한 경우$$[\frac{2\sum X_i}{\chi^2_{\alpha/2}(2n)}, \frac{2\sum X_i}{\chi^2_{1-\alpha/2}(2n)}]..

이번 포스팅에서는 주축량과 이를 이용한 신뢰구간 계산하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 1. 주축량(Pivotal Quantity)이란?주축량은 함수 Q에 대해 다음과 같은 성질을 만족하는 경우 주축량(Pivotal Quantity)이라고 합니다.정의$Q(X_1, X_2, \ldots, X_n ; \theta)$의 분포가 모수 $\theta$에 의존하지 않는다면, 이를 주축량이라고 합니다 2. 정규분포에서의 예시예전에 평균에 관한 구간 추정을 다룬 적이 있었는데요. (https://moogie.tistory.com/132)만약 $X_1, X_2, \ldots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$인 random sample에 대해 표본평균 $\overline{X}=\frac{\sum_i X_i}..

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 비모수적인 방법을 이용한 검정에 대해 알아보겠습니다. 포스팅 8-2과 8-3에서는 정규분포 및 이항분포를 가정해서 검정통계량을 정의하고 검정할 수 있었습니다. 이번 비모수적 검정에서는 분포에 대해 거의 가정하지 않으므로 정규성을 만족하는지 확인할 필요가 없습니다. 1. 부호검정(Sign Test) $m$을 중위수(Median)이라고 할때, 귀무가설 $H_0 : m = m_0$, 대립가설 $H_1 : m \neq m_0$에 대한 가설검정을 수행할 수 있는데요. 이는 $m_0$가 실제 중위수라고 하면 주어진 데이터 $X_1, X_2, \cdots, X_n$에 대해 $X_1 - m, X_2 - m, \cdots, X_n - m$에 대해 절반은 음수를 가지고 절반은 양수를 가질 것..

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 비율에 대한 가설검정에 대해 알아보도록 하겠습니다. 비율에 대한 구간추정 포스팅(https://moogie.tistory.com/134)을 참고해주시면 이해하는데 도움이 됩니다. 1. 단일 비율에 대한 추정 (Z score Test) $X \sim B(n, p)$이고 귀무가설 $H_0 : p = p_0$ 일때, 대립가설에 따른 기각역은 아래와 같다. (단, $\hat{p} = \frac{X}{n}$) $H_1 : p > p_0$ 일때, 기각역 C = {$z | z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0q_0/n}} \geq z_{\alpha}$} $H_1 : p < p_0$ 일때, 기각역 C = {$z | z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{..

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 이전 포스팅에서 정리한 가설검정에 대한 이해를 바탕으로 평균에 대한 가설 검정에 대해 알아보도록 하겠습니다. 이번 포스팅에서는 평균에 대한 구간추정(https://moogie.tistory.com/132), 두 평균의 차이에 대한 구간추정(https://moogie.tistory.com/133), 가설검정(https://moogie.tistory.com/138)의 내용을 많이 포함하고 있습니다. 1. Underlying Distribution이 정규분포이고, 분산($\sigma^2$)을 아는 경우 (귀무가설 $H_0 : u = u_0$) $H_1 : u > u_0$인 경우 기각역 : {$\overline{x}$ | $\overline{x} \geq u_0 + z_{\alph..