[확률과 통계적 추론] 8-3. 비율에 대한 가설검정

 

 

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 비율에 대한 가설검정에 대해 알아보도록 하겠습니다.

비율에 대한 구간추정 포스팅(https://moogie.tistory.com/134)을 참고해주시면 이해하는데 도움이 됩니다.

 

 

1. 단일 비율에 대한 추정 (Z score Test)

• $X \sim B(n, p)$이고 귀무가설 $H_0 : p = p_0$ 일때, 대립가설에 따른 기각역은 아래와 같다. (단, $\hat{p} = \frac{X}{n}$)
  1. $H_1 : p > p_0$ 일때, 기각역 C = {$z | z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0q_0/n}} \geq z_{\alpha}$}
  2. $H_1 : p < p_0$ 일때, 기각역 C = {$z | z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0q_0/n}} \leq -z_{\alpha}$}
  3. $H_1 : p \neq p_0$ 일때, 기각역 C = {$z : |z| = \frac{|\hat{p}-p_0|}{\sqrt{p_0q_0/n}} \geq z_{\alpha/2}$}

 

 

2. 두 비율 차이에 대한 추정

• $X \sim B(n, p_1), Y \sim B(m, p_2)$이고 귀무가설 $H_0 : p_1 = p_2$ 일때, 대립가설에 따른 기각역은 아래와 같다. (단, $\hat{p_1} = \frac{X}{n}$,  $\hat{p_2} = \frac{Y}{m}$, $\overline{p} = \frac{X+Y}{n+m}$)

1. $H_1 : p_1 > p_2$ 일때, 기각역 C = {$z | z = \frac{\hat{p_1}-\hat{p_2}}{\sqrt{\overline{p_0} \overline{q_0}(\frac{1}{n} + \frac{1}{m})}} \geq z_{\alpha}$}
2. $H_1 : p_1 < p_2$ 일때, 기각역 C = {$z | z = \frac{\hat{p_1}-\hat{p_2}}{\sqrt{\overline{p_0} \overline{q_0}(\frac{1}{n} + \frac{1}{m})}} \leq -z_{\alpha}$}
3. $H_1 : p_1 \neq p_2$ 일때, 기각역 C = {$z : |z| = \frac{|\hat{p_1}-\hat{p_2}|}{\sqrt{\overline{p_0} \overline{q_0}(\frac{1}{n} + \frac{1}{m})}} \geq z_{\alpha/2}$}

 

 

3. 실습

이번 실습에서는 국정 수행 지지도에 대한 검정으로 리얼미터에서 조사한 결과를 사용하였습니다.(http://www.realmeter.net/ghehbe538/)

해당 자료에서는 2509명을 조사하여 36.5%의 지지율을 얻었다고 나와있으므로 신뢰구간 및 가설검정을 아래와 같이 진행하였습니다.

n = 2509; phat = 0.365
X = round(phat*n)

library(binom)
library(tidyverse)
binom::binom.confint(x=X, n=n, conf.level = 0.95, methods="all") %>% 
  filter(method %in% c("agresti-coull", "asymptotic", "exact", "wilson"))

• 4가지의 방법을 통해 구한 신뢰구간에는 큰 차이가 없는 것을 확인할 수 없습니다. 

 

 

또한 귀무가설 $H_0 : p = 0.5$, 대립가설 $H_1 : p \neq 0.5$ 검정을 아래와 같이 prop.test를 통해 진행했습니다.

prop.test(x = X, n = n, p = 0.5)

• 앞에서 서술한 Z-value의 값과 약간의 차이가 있으나 유의확률이 모두 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각합니다.
• 즉, 국정 수행 지지도가 0.5라고 할 수 없습니다.