[확률과 통계적 추론] 5-2.3 Box-Muller 변환과 시뮬레이션

 

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 Box-Muller Transformation을 통한 난수 생성을 해보려고 합니다.

 

 

서로 독립인 균일분포를 이용하여 정규분포를 따르는 난수를 생성하는 방법으로 이론적인 배경은 아래와 같습니다.

 

즉, 서로 독립인 $X_1 \sim U(0, 1)$과 $X_2 \sim U(0, 1)$에 $Z_1 = \sqrt{-2lnX_1}cos(2\pi X_2)$, $Z_2 = \sqrt{-2lnX_1}sin(2\pi X_2)$로 변환을 해주면 서로 독립인 정규분포를 따르는 확률변수를 생성할 수 있습니다.

 

아래 시각화에서 확인할 수 있듯 균일분포의 산점도는 직사각형 형태로 균일하게 찍혀있으며 z1과 z2의 산점도는 원형으로 균일하게 생성되어 있는 것을 확인할 수 있습니다.

library(ggforce)
library(tidyverse)

tibble(
  n = 1000,
  u1 = runif(n, min = 0, max = 1),
  u2 = runif(n, min = 0, max = 1),
  z1 = sqrt(-2*log(u1))*cos(2*pi*u2),
  z2 = sqrt(-2*log(u1))*sin(2*pi*u2)) %>% 
  ggplot(mapping=aes(x=.panel_x, y=.panel_y)) + 
  geom_point() + facet_matrix(vars(u1, u2, z1, z2))

 

또한 개별적으로 shapiro.test를 사용한 정규성 검정을 진행한 결과 z1과 z2는 정규성을 가지고 있으며 u1과 u2는 정규성을 만족하지 않는다고 나오네요.