[확률과 통계적 추론] 5-2.1 이변량 변수의 변환

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 저번 포스팅에서 배운 분포함수기법 및 변수변환법을 이변량 변수로 확장한 것을 알아보겠습니다. 학부 시절에도 까다롭다고 생각했는데 지금 봐도 여전히 뭔가 까다로운 부분이 있는 파트더라고요.

 

확률변수 $X_1$, $X_2$의 Joint PDF를 알고 있으며 확률변수 $Y_1$, $Y_2$가  $Y_1 = u_1(X_1, X_2)$, $Y_2 = u_2(X_1, X_2)$라고 할 때 $X$에 대한 $X_1 = v_1(Y_1, Y_2)$, $X_2 = v_2(Y_1, Y_2)$ 식으로 정리할 수 있다면 새로운 확률변수 $Y_1$, $Y_2$의 결합확률분포(Joint PDF)는 아래와 같습니다.

 

$$f_{Y_1, Y_2} = |J| * f_{X_1, X_2}[v_1(Y_1, Y_2), v_2(Y_1, Y_2)] =  \begin{vmatrix}
\frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2} \\
\frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \frac{\partial x_2}{\partial y_2} \\
\end{vmatrix} * f_{X_1, X_2}[v_1(Y_1, Y_2), v_2(Y_1, Y_2)]$$

 

새로운 확률변수 $Y_1$, $Y_2$의 정의역 $S_Y$는 기존 확률변수의 정의역 $S_X$에 대해서 함수 $u_1$, $u_2$를 적용한 공간이여야 하며, $X_1$, $X_2$가 독립이지만 $Y_1$, $Y_2$는 서로 독립이 아닐 수 있으며 반대로 $X_1$, $X_2$가 독립이 아니지만 $Y_1$, $Y_2$는 독립일 수 있다는 점 참고하면 좋을 것 같습니다.

 

예시를 통해 어떤 식으로 풀이하는지 살펴봅시다.

X1, X2는 Dependence이지만 Y1, Y2는 Independence인 예제

 

이번에는 반대로 $X_1$과 $X_2$가 독립이지만 $Y_1$과 $Y_2$가 독립이 아닌 경우를 살펴보겠습니다.

 

다음 포스팅에서는 이번 포스팅에서 배운 내용을 가지고 베타분포와 F분포에 대해서 알아보겠습니다.