[확률과 통계적 추론] 5-1.2 Change-of-variable Technique

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 저번 포스팅에 이어 일변량 변수의 분포를 알고 있을 때, 변환된 변수의 분포를 구하는 방법 중 변수변환기법(Change-of-Variable Technique)에 대해 알아보겠습니다.

 

변수변환기법은 분포함수기법(Distribution function technique)에서 일정한 조건을 추가하여 간단하게 변환된 변수의 분포를 구할 수 있는 기법입니다. 분포가 주어진 변수$X$에 대해 변환한 $Y=g(X)$에 대한 분포를 생각해 보기 전에 변수변환기법에서는 함수 $g$가 증가(혹은 감소)함수라고 가정하고 있는데요. 따라서 $X$의 정의역이 $c_1 < x < c_2$라면 $Y$의 정의역이 $d_1 = u(c_1) < y < u(c_2) = d_2$로 대응되어야 합니다. 이때 분포함수기법에 따라 $Y$의 분포는 아래와 같습니다.

$$F_Y(y) = Pr(Y<y) = Pr[u(X)<y] = Pr[X<u^{-1}(y)]$$ 

또한 가정에 따라 함수 $u$가 증가함수이므로 역함수 $u^{-1}$ 역시 증가함수이기에 아래와 같이 전개가 가능합니다.

$$F_Y(y) = \int_{c_1}^{u^{-1}(y)}f_X(x)dx$$

분포의 특성에 따라 누적분포함수의 미분은 확률분포함수와 같으므로 아래와 같은 등식이 성립합니다.

$$f_Y(y) = F_Y'(y) = f_X(u^{-1}(y))|u^{-1}(y)|'$$

 

아래 예시들를 통해 변수변환기법을 어떻게 적용하는지 살펴보면 좋을 것 같습니다.

 

또한, 아래 예시와 같이 전체 정의역에서는 증가(감소)함수가 아니지만 부분으로 나눌때 만족하는 경우 범위를 나누어서 계산할 수 있습니다.