[확률과 통계적 추론] 4-4. 연속형 이변량 분포

 

 

이번 포스팅에서는 Continuous Bivariate Distribution에 대해 알아보도록 하겠습니다.

이산형 이변량 분포와 개념은 전부 같으나 표본 공간에 대한 접근이 근본적으로 다르기에 이를 정의하는 기호나 표기 정도가 조금 달라졌습니다. 또한 이변량 분포를 확장하여 다변량 분포도 정의할 수 있으나 주로 벡터형식으로 표현하기에 생략합니다. (사실 선형대수 자신이..!)

• Joint PDF : $f(x,y)$
• 표본공간(Sample Space) : X와 Y로 구성된 이차원(two-dimensional) 공간에 대응되므로 Vector 형식으로도 표현 가능

 

•  특징
  1. $f(x,y) \geq 0 $
  2. $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy = 1$
  3. $Pr[(X,Y) \in A] = \int_{(x,y)\in A}f(x,y)dxdy$

 

• 주변확률분포 (marginal PDF) : $f_X(x)$ or $f_Y(y)$
  • $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy$
  • $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx$

 

• 평균과 분산
  • $u_X = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf(x,y)dxdy = \int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx$
  • $\sigma_X^2 = Var[X] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x-u_X)^2f(x,y)dxdy = \int_{-\infty}^{\infty}(x-u_X)^2f_X(x)dx$
  • $\sigma_{XY} = Cov[X,Y] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} (x-u_X)(y-u_Y)f(x,y)dxdy $
  • $E[XY] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf(x,y)dxdy$
  • 참고로 이산형과 마찬가지로 $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$, $Cov[X,Y] = E[XY] - E[X]E[Y]$로 구할 수 있습니다.

 

• 조건부 분포
  • $f(Y|X=x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$
  • $E[Y|X] = \int_{-\infty}^{\infty}yf(y|x)dy$
  • $Var[Y|X] = \int_{-\infty}^{\infty}(y-u_{y|x})^2f(y|x)dy$

 

참고로 아래와 같이 헷갈리기 쉽지만 Joint PDF의 표본 공간에서 한 변수가 다른 변수에 의해 영향을 받는 구조라면 계산 시 적분 영역에 주의해야 합니다. 

 

아래는 Joint PDF가 주어졌을 때, 주변확률분포 및 평균과 분산을 구하는 예시입니다.