[확률과 통계적 추론] 5-8. Chebyshev's Inequality (체비쇼프 부등식)

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 체비쇼프 부등식에 대해 알아보려고 합니다.

체비쇼프 부등식은 중심극한정리처럼 분포와 상관없이 성립하는 부등식으로 평균으로부터 떨어질 확률에 대해 기술하고 있습니다.

 

Chebyshev 부등식은 확률변수 X가 평균 $\mu$, 분산 $\sigma^2$를 가지고 있으면 다음이 성립함을 보일 수 있습니다.

$$Pr[|X-\mu| \geq k\sigma] \leq \frac{1}{k^2}$$

$$Pr[|X-\mu| \geq \varepsilon ] \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon ^2}$$

 

즉, 확률변수가 평균 $\mu$로 부터 $k$ * 표준편차($\sigma$)보다 멀리 떨어질 확률은 $\frac{1}{k^2}$보다 작다는 것이죠.

또한 확률의 성질에 따라 확률변수가 평균을 중심으로 특정 값에 이내에 있을 확률 역시 계산할 수 있습니다.

이러한 점으로 인해 분포와 상관없이 평균과 분산을 알고있으며 평균으로부터 떨어질/포함된 확률의 최대값/최소값을 알 수 있어서 유용합니다.

 

참고로 분산의 성질을 이용하여 아래와 같이 아래와 같이 증명이 가능합니다.

 

아래는 체비쇼프 부등식을 이용하여 특정 확률을 계산한 예시입니다.

 

마지막으로 이항분포의 확률변수를 시행횟수로 나눈 통계량을 추정량으로 사용할 경우 실제확률과의 차이를 아래와 같이 기술할 수 있습니다.